Cours Galois Theory - HDR - Thèse
d' Annick Valibouze

(avec description des principaux résultats)


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1996
Theory of Equations, Lagrange and Galois Theory
Cours de Théorie de Galois avec les idéaux de Galois. Déposé ici .
1994
Théorie de Galois Contructive
Mémoire d'habilitation à diriger les recherches, Université P. et M. Curie (Paris VI)
1987
Manipulations de fonctions symétriques Thèse de l'Université P. et M. Curie (Paris VI) - Rapport LITP 87-75.


Galois Theory - HDR - Thèse

Je dispose de versions imprimées que je peux vous envoyer. Les principaux résultats ont été publiés en revues.

1996
Galois Theory
Polycopié de mon cours dispensé à l'Université de Marrakech (Maroc, Octobre 1996), au département de Mathématiques de l'université de Pise (Italie, Mai 1997), dans le DEA ITCP (Paris VI, 95/96 ...) et présenté aux membres du projet Galois de MEDICIS.

Ce cours contient les principaux résultats sur les idéaux de Galois avec entre autre l' algorithme GaloisIdéal construisant le corps des racines d'un polynôme d'une variable F en déterminant simultanément son groupe de Galois (voir LIP6-Report 1997/014 et [9]).

Les idéaux de Galois

Initialement, ils furent définis autrement que par la définition suivante qui s'énonce simplement (voir Valibouze, 1997 ):

Les idéaux de Galois d'un polynôme F d'une variable sont les idéaux obtenus en intersectant des idéaux maximaux de relations entre les racines de F.

Jusqu'à la fin de ce paragraphe, les racines de F sont supposées distinctes deux-à-deux.

Dans son livre, Tchebotarev décrit les deux idéaux de Galois connus jusqu'en 1996 : l'idéal maximal M des relations, engendré par les modules fondamentaux, et l'idéal S des relations symétriques, engendré par les modules de Cauchy :

Soit a une numérotation des n racines de F.

L' idéal M des a -relations (sur un corps K) est l'ensemble des polynôme de n variables s'annulant en a .

Si les racines de F sont distinctes deux-à-deux, il est triangulaire. C'est-à-dire qu'il est engendré par un ensemble triangulaire séparable de n polynômes, les modules fondamentaux :

f i (x 1 ,...,x i ) ,
séparable en x i de monôme initial x i m i où le produit m 1 m 2 ...m n s'identifie à l'ordre g du groupe de Galois. Il y a n!/g idéaux maximaux.

L' idéal des relations symétriques est l'intersection des n!/g idéaux de relations.

L'idéal S se calcule rapidement et répond au théorème fondamental des fonctions symétriques. L'idéal M est celui qu'on cherche à déterminer. Il répond au théorème de Galois. En effet, l'anneau des polynômes quotienté par M est isomorphe au corps des racines de F. Donc, l'"évaluation" (i.e. la forme normale ne donnant qu'une représentation à zéro) d'un polynôme en les racines de F est le reste des divisions euclidiennes successives de ce polynôme avec les f i . De la même manière, la valeur numérique (i.e. dans K) d'un polynôme symétrique en les racines de F est le reste des divisions euclidiennes successives de ce polynôme par les modules de Cauchy qui forment aussi un ensemble triangulaire (séparable si F l'est) (c'est un résultat d' A. Cauchy). Si ce polynôme n'est pas une "relation symétrique", le reste n'appartient pas à K. Pour une formule close exprimant les modules de Cauchy en fonction des coefficients de F, voir cet article avec Antonio Machi.

Le groupe de Galois

Soit a une numérotation des n racines du polynôme F à coefficients dans le corps K.

Le groupe de Galois G de a (sur K) est le groupe stabilisant globalement l'idéal M des a -relations : si r est une a -relation et s appartient à G alors nécessairement s.r est encore une a -relation.

Le polynôme de n variables s.r résulte des permutations des indices de ces variables dans l'expression de r. Dit encore autrement, le groupe G est le groupe de décomposition de M :

G(M) = M .
Si P et Q sont deux polynômes de n variable tels que P=Q alors pour toute permutation s du groupe symétrique de degré n
s.P = s.Q.
Alors que P( a )=Q( a ), il n'est pas certain que
s.P( a ) = s.Q( a )
sauf si s appartient au groupe de Galois G de a .

L'injecteur et le groupe de décomposition d'un idéal de Galois

A tout idéal de Galois I, on associe son injecteur Inj(I,M) dans M ; le plus grand ensemble de permutations L qui envoie I dans M :
L.I < M .
L'injecteur de l'idéal des relations symétriques est le groupe symétrique de degré n et le Galois G de a est celui de l'idéal M des a -relations.
Soit L est un ensemble de permutations (contenant l'identité). Avec M, il définit l'idéal de Galois I résultant de l'intersection des permutation s(M) de M, où s -1 parcourt L. Nous avons alors

Inj(I,M) = GL .

L'injecteur n'est donc pas nécessairement un groupe. Un idéal de Galois dont l'injecteur est un groupe est dit pur et son injecteur s'identifie à son groupe de décomposition D qui envoie I dans I :
D.I = I .

Si un idéal de Galois est défini par un groupe alors son groupe de décomposition est le plus grand groupe le définissant.

La correspondance Idéaux de Galois et groupes de permutation

La correspondance galoisienne sur les corps possède son analogue sur les idéaux de Galois.

Tout idéal de Galois I satisfait

S < I < M.
Inversement, tout idéal intermédiaire entre S et M est de Galois (c'est évident).

Soient I et J deux idéaux de Galois tels que I < J. Alors

Inj(J,M) < Inj(I,M).
Inversement, si L et H sont deux ensembles de permutations tels que H < L. Soit I l'idéal de Galois défini par L et M et J celui défini par H et M. Alors
I < J .

L'algorithme Galois Idéal

L'algorithme GaloisIdéal repose sur les résolvantes relatives et absolues (thèses N. Rennert et F. Lehobey), les invariants de groupes finis (thèse I. Abdeljaouad), les matrices de groupes et sur des idées en germe dans "Résolvantes de Lagrange" (LITP-report 93.61, avec J.-M. Arnaudiès) :
  1. Que se passe-t-il quand on évalue en x=P un facteur h(x) d'une résolvante par l'invariant P ?
  2. Si la résolvante est la résolvante de Galois alors l'idéal maximal des relations M est l'union de l'idéal des relations symétriques S (engendré par les modules de Cauchy) et de l'idéal engendré par h(P) :

    M = S + < h(P)>.

Pour GaloisIdéal, 1. et 2. sont généralisés par (pour la clarté, je restreins le théorème) :

( Valibouze, 1997) Soit G, le groupe de Galois. Si G et H sont deux sous-groupes d'un groupe L et si P est un H-invariant L-primitif non dégénéré alors l'idéal de Galois J défini par H est engendré par l'union de l'idéal de Galois I défini par L et de l'idéal engendré par h(P) :

J = I + < h(P) > .

Note. En particulier, dans les cas non dégénérés, G est un sous-groupe de H ssi h est linéaire : h=x-v, où v appartient au corps de base. Et H est alors le groupe de décomposition de J. Cette formule s'applique immédiatement aux classiques idéaux de Hilbert car ce sont les idéaux de Galois de F=x n (G est le groupe identité) : si J est l'idéal Hil(H) des H-invariants et si I celui Hil(L) des L-invariants alors

Hil(H) = Hil(L) + < P >.

L'idéal Hil(H) n'est pas nécessairement triangulaire car les racines de F ne sont pas distinctes deux-à-deux.

L'algorithme GaloisIdéal consiste donc à construire inductivement une chaîne croissante d'idéaux de Galois de F :

I 1 < I 2 < ...< I < J < ...< M.

Les matrices de groupes sont utilisées pour le test d'arrêt (i.e. l'idéal maximal M est calculé) et orienter les calculs. Les résolvantes relatives sont utilisées avec les matrices de groupes mais aussi pour calculer l'idéal suivant.
Au pire des cas, l'idéal I 1 est l'idéal des relations symétriques engendré par les modules de Cauchy ; c'est-à-dire, d'après l'article "Résolvante de Lagrange", l'intersection de tous les idéaux maximaux.

La résolvante

La définition telle qu'elle est énoncée dans ce cours est plus générale que la définition combinatoire classique :
Soit I l'idéal de Galois comme ci-dessus et R=K[x_1,...,x_n]/I, l'anneau quotienté par I. Le H-invariant P est un polynôme de n variables qui induit un endomorphisme (noté P, également) multiplicatif de R en associant la classe du produit P.Q à chaque classe Q de R.
Le polynôme caractéristique de l'endomorphisme P (de degré le cardinal de l'injecteur L de I) est la

résolvante L-relative par P

à la puissance l'ordre du groupe H.
Si la résolvante est sans facteur multiple (i.e. si l'invariant P est non dégénéré) et si le corps K est parfait alors elle s'identifie au polynôme minimal de l'endomorphisme P.
Une telle résolvante est appelée une H-résolvante L-relative .

Note. Les racines d'une résolvante sont donc les valeurs propres de l'endomorphisme. Soit e l'"indice" de H dans L (L est l'union disjointe e de classes à droite de H). C'est le degré de la résolvante. Il existe au plus e valeurs propres distinctes, les racines de la résolvante, et s'il en existe e distinctes la résolvante et le polynôme minimal sont identiques.

L'algorithme de calcul des résolvantes relatives avec les idéaux de Galois ( Philippe Aubry et Valibouze, 1998 ) généralise l'algorithme des absolues avec l'idéal des relations symétriques ( Nicolas Rennert et Valibouze, 1998 ).

Ces travaux ont débuté grâce à Antonio Machi qui, entre autre, m'a fait découvrir le livre de Tchebotarev et à J.-M. Arnaudiès avec qui j'ai travaillé sur l'idéal des relations symétriques et celui des relations.


1994
Théorie de Galois Constructive
Mémoire d'habilitation à diriger les recherches (HDR), Université P. et M. Curie (Paris VI)

Je me suis posée les deux questions suivantes :

  1. Comment déterminer le groupe de Galois de tout polynôme ?
  2. Comment rendre effectif le théorème de Galois ?
C'est-à-dire : comment calculer la valeur dans le corps de base du polynôme d'une expression algébrique en ses racines invariante par son groupe de Galois ? C'est la généralisation du théorème fondamental des fonctions symétriques.

Pour répondre à 1., le seul algorithme fonctionnant pour tout polynôme était celui de R.P. Stauduhar faisant appel aux approximations numériques des racines. Avec Jean-Marie Arnaudiès, nous avons répondu algébriquement à 1. avec les matrices de Partitions que j'ai étendues aux matrices de groupes diminuant nettement la complexité du calcul en espace et en temps. Depuis Berwick, en passant par Foulkes et jusqu'à Mc-Kay, Soicher, Regener et Butler, des sous-matrices des matrices de partitions avaient été calculées jusqu'au degré 11 permettant de répondre algébriquement à la question 1. jusqu'au degré 7 et uniquement pour des polynômes irréductibles.

Pour répondre à 2. pour un polynôme F, il faut calculer

  • ou bien le polynôme minimal d'un élément primitif du corps des racines de F ; ce point de vue est en pratique rapidement inutilisable car le degré du polynôme minimal est identique à l'ordre du groupe de Galois (i.e. n! si c'est S n , avec n=deg(F)).
  • ou bien calculer un idéal maximal triangulaire (voir Tchebotarev) dont le produit des degrés initiaux est identique à l'ordre du groupe de Galois (et, qu'avec P. Aubry, dans [11], nous avons déterminés indépendamment des valeurs des coefficients de F).

  • Avec J.-M. Arnaudiès, nous avons donné une formule calculant l'idéal maximal mais avec la contrainte du calcul d'un élement primitif du corps des racines de F (voir "Résolvantes de Lagrange" ,LITP-Report 93.61 avec J.-M. Arnaudiès, version téléchargeable dans Notes Informelles de Calcul Formel). Ce problème fut résolu par la suite avec les idéaux de Galois (voir ici ).

    Les matrices de groupes et de partitions

    Soient G,H,L trois sous-groupes du groupe symétrique de degré n tels que G < L et H < L. L'action de G à gauche sur les G-orbites des classes à gauche de L modulo H induit un liste de groupes qui ne dépend que des classes de conjugaison respectives de G et de H dans L.
    Le groupe G est le groupe candidat et le groupe H est le groupe test .

    Si une H-résolvante L-relative d'un polynôme de groupe de Galois G sur K n'est pas dégénérée (il en existe toujours une) alors cette liste de groupes est celle des groupes de Galois de ses facteurs irréductibles sur K ( Valibouze, 1994).

    Soient C1 ,...,Cp sont les classes de conjugaison de sous-groupes de L.
    La matrice des groupes relative à L est la matrice pxp dont l'élément de la ligne i, colonne j est la liste de groupes construite comme ci-dessus avec un représentant de Ci comme groupe candidat et un représentant de Cj comme groupe test.

    La matrice des partitions est obtenue en remplaçant, dans la matrice des groupes, les groupes par leur degré respectif (i.e. le cardinal de l'orbite). Les lignes de la matrice des partitions sont distinctes 2 à 2.

    Il est donc toujours possible de déterminer le groupe de Galois de tout polynôme en utilisant les résolvantes ( Arnaudiès-Valibouze, 1993 ),

    les matrices de groupes permettant d'élaborer l'algorithme le plus efficace pour y parvenir.

    Les matrices de groupes et de partitions servent aussi à :

    1. Répondre partiellement au problème inverse de Galois ( Gil-Delessalle et Valibouze, 1996, pour des polynômes de degré 12 et Valibouze, 1994)

      Soit G un groupe de permutations de degré n. Existe-t-il un polynôme de degré n dont il soit le groupe de Galois ? Et, dans ce cas, calculer le polynôme.

    2. Orienter la factorisation de polynômes (sur K ou sur ses extensions) par la pré-détermination des degrés des facteurs possibles (Thèse de Frédérique Lehobey)

    3. Tester les systèmes de Calcul Formel. Elles ont permis de déceler deux "BUG's":
      - un dans la factorisation de MAXIMA (corrigé par William Schelter) : la H-résolvante d'un polynôme de groupe de Galois G se factorisait dans des degrés ne correspondant pas à ceux attendus selon la partition avec G comme groupe candidat et H comme groupe test.
      - un dans le calcul du groupe de Galois dans les extensions de Magma : un facteur de F dans son corps de rupture (F est sa propre résolvante par le groupe S1xS n-1 ) avait D4 comme groupe de Galois et le groupe de Galois calculé par Magma était différent.
    Autres Résultats

  • Avec Daniel Lazard nous avons établi un algorithme calculant les sous-corps d'un corps de rupture (i.e. les corps entre K et K(a) où a est une racine du polynôme).

  • Nouvelles formules calculant des résolvantes et implantées dans SYM.
  • Ce travail d'habilitation a débuté grâce à Pierre Cartier qui, en 1985, m'expliqua comment prouver que le groupe de Galois du polynôme x7-7x+3 est le groupe transitif de degré 7 et d'ordre 168. Il s'agissait de calculer une résolvante de Lagrange absolue (celle du polynôme par l'invariant x1+x2+x3) par les changements de bases de fonctions symétriques. Avec mon module SYM, vous pouvez calculer rapidement cette résolvante de degré 30. Elle est donnée en exemple ici dans sa docenligne.


    1987
    Manipulations de fonctions symétriques
    Thèse de l'Université P. et M. Curie (Paris VI).
    Sous la direction de Daniel Lazard.
    Rapport LITP 87-75.
    Ce travail a débuté sur cette question de D. Lazard :

    Comment rendre effectif le théorème fondamental des fonctions symétriques ?

    Ce sujet de thèse est à l'origine de la plupart de mes travaux.

  • Après avoir trouvé une solution contournant la complexité exponentielle du groupe symétrique, j'ai poursuivi sur d'autres problèmes en bénéficiant des conseils éclairés d'Alain Lascoux (DR-CNRS au LITP), spécialiste de la combinatoire du groupe symétrique. Ce travail constitue toute la partie "Fonctions Symétriques" du module SYM .
  • Suite à mon entretien avec Pierre Cartier (voir plus haut), j'ai établi des algorithmes et formules calculant efficacement des résolvantes de Lagrange absolues que j'ai implantées dans SYM (voir aussi [3] et [4]).
  • Avec M. Giusti et D. Lazard, nous avons montré l'équivalence algorithmique de : (1) Calcul du résultant (2) Calcul de la résolvante absolue (3) Effectivité du théorème fondamental des fonctions symétriques.



  • Laboratoire LSTA (Statistique) et Laboratoire d'Informatique de Paris 6
    Équipe APR  
    Département RSR
    Université Paris VI, 4, place Jussieu,
    F-75252 Paris Cedex 05
    annick.valibouze@upmc.fr