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Les principaux résultats ont été publiés en revues.
- 1996
- Galois Theory
Polycopié de mon cours
dispensé à l'Université de Marrakech (Maroc, Octobre 1996), au département de
Mathématiques de l'université de Pise (Italie,
Mai 1997), dans le DEA ITCP (Paris VI, 95/96 ...) et présenté aux membres du
projet Galois
de MEDICIS.
Ce cours contient les
principaux résultats
sur les idéaux de Galois avec entre autre l' algorithme
GaloisIdéal
construisant le corps des racines d'un polynôme d'une variable F en déterminant
simultanément son groupe de Galois (voir LIP6-Report 1997/014 et [9]).
Les idéaux de Galois
Initialement, ils furent définis autrement que par la définition suivante
qui s'énonce simplement (voir Valibouze,
1997 ):
Les idéaux de
Galois d'un polynôme F d'une variable sont les idéaux obtenus en
intersectant des idéaux maximaux de
relations entre les racines de F.
Jusqu'à la fin de ce paragraphe, les racines de F sont supposées distinctes
deux-à-deux.
Dans son livre, Tchebotarev décrit les deux idéaux
de Galois connus jusqu'en 1996 : l'idéal maximal M des relations, engendré par
les modules fondamentaux, et l'idéal S des
relations symétriques, engendré par les modules de Cauchy :
Soit a une numérotation des n racines de F.
L' idéal M des a -relations (sur un corps K) est l'ensemble des
polynôme de n
variables s'annulant en a .
Si les racines de F sont distinctes deux-à-deux, il est
triangulaire. C'est-à-dire qu'il est engendré par un ensemble
triangulaire séparable de n polynômes, les
modules fondamentaux :
f i (x 1 ,...,x i ) ,
séparable en x i
de monôme initial
x i m i où le produit m 1 m 2 ...m n s'identifie à
l'ordre g du groupe de Galois.
Il y a n!/g idéaux maximaux.
L' idéal des relations symétriques est l'intersection des n!/g idéaux
de relations.
L'idéal S se calcule
rapidement et répond au théorème fondamental des fonctions symétriques. L'idéal
M est celui qu'on cherche à déterminer. Il répond au théorème de Galois. En
effet, l'anneau des polynômes quotienté par M est isomorphe au corps des racines
de F. Donc, l'"évaluation" (i.e. la forme normale ne donnant qu'une
représentation à zéro) d'un polynôme en les racines
de F est le reste des divisions
euclidiennes successives de ce polynôme avec les f i .
De la même
manière, la valeur
numérique (i.e. dans K) d'un polynôme symétrique en les racines de F est le reste des
divisions euclidiennes successives de ce polynôme par les modules de Cauchy
qui forment aussi un ensemble triangulaire (séparable si F l'est)
(c'est un résultat d'
A. Cauchy). Si ce polynôme n'est pas une
"relation symétrique", le reste n'appartient pas à K. Pour une formule close
exprimant les modules de Cauchy en fonction des coefficients de F, voir cet article avec Antonio Machi.
Le groupe de Galois
Soit a une numérotation des n racines du polynôme F à
coefficients dans le corps K.
Le groupe de Galois G de a (sur K) est le groupe stabilisant globalement
l'idéal M des a -relations : si r est une a -relation et s
appartient à G alors nécessairement s.r est encore une a -relation.
Le polynôme de n variables s.r résulte des permutations des indices de ces
variables dans l'expression de r.
Dit encore autrement, le groupe G est le groupe de décomposition de M :
G(M) = M .
Si P et Q sont deux polynômes de n variable tels que P=Q alors pour
toute permutation s du groupe symétrique de degré n
s.P = s.Q.
Alors que P( a )=Q( a ), il n'est pas certain que
s.P( a ) = s.Q( a )
sauf si s appartient au groupe de Galois G de a .
L'injecteur et le groupe de décomposition d'un idéal de Galois
A tout idéal de Galois I, on associe son injecteur Inj(I,M) dans M ; le
plus grand ensemble de permutations L qui envoie I dans M :
L.I < M .
L'injecteur de l'idéal des relations symétriques est le groupe
symétrique de degré n et le Galois G de a est celui de
l'idéal M des a -relations.
Soit L est un ensemble de permutations (contenant l'identité). Avec M,
il définit l'idéal de Galois
I résultant de l'intersection des permutation s(M) de M, où
s -1 parcourt L. Nous avons alors
Inj(I,M) = GL .
L'injecteur
n'est donc pas nécessairement un groupe. Un idéal de Galois dont
l'injecteur est un groupe est dit pur et son injecteur
s'identifie à son groupe de décomposition D qui envoie I dans
I :
D.I = I .
Si un idéal de Galois est défini par un groupe alors son groupe de
décomposition est le plus grand groupe le définissant.
La correspondance Idéaux de Galois et groupes de permutation
La correspondance galoisienne sur les corps possède son analogue sur
les idéaux de Galois.
Tout idéal de Galois I satisfait
S < I < M.
Inversement, tout idéal intermédiaire entre S et M est de Galois
(c'est évident).
Soient I et J deux idéaux de Galois tels que I < J. Alors
Inj(J,M) < Inj(I,M).
Inversement, si L et H sont deux ensembles de permutations tels que H
< L. Soit I
l'idéal de Galois défini par L et M et J celui défini par H et
M. Alors
I < J .
L'algorithme Galois Idéal
L'algorithme GaloisIdéal
repose sur les résolvantes
relatives et absolues (thèses N. Rennert et F. Lehobey), les invariants de
groupes finis (thèse I. Abdeljaouad), les
matrices de groupes et sur des idées en germe dans
"Résolvantes de Lagrange"
(LITP-report 93.61, avec J.-M. Arnaudiès) :
- Que se passe-t-il quand on
évalue en x=P un facteur h(x) d'une résolvante par l'invariant P ?
- Si la
résolvante est la résolvante de Galois alors l'idéal maximal des relations M
est l'union de l'idéal des relations symétriques S (engendré par les modules de
Cauchy) et de l'idéal engendré par h(P) :
M = S + < h(P)>.
Pour GaloisIdéal,
1. et 2. sont généralisés par (pour la clarté, je restreins le théorème) :
( Valibouze, 1997)
Soit G, le groupe de Galois.
Si G et H sont deux sous-groupes d'un groupe L et si P est un H-invariant
L-primitif non dégénéré alors l'idéal de Galois J défini par H est
engendré par l'union de l'idéal de Galois I défini par L et de l'idéal
engendré par h(P) :
J = I + < h(P) > .
Note.
En particulier, dans les cas non dégénérés, G est un
sous-groupe de H ssi h est linéaire : h=x-v, où v appartient au corps de base.
Et H est alors le groupe de décomposition de J. Cette formule s'applique
immédiatement aux classiques idéaux
de Hilbert car ce sont les idéaux de Galois de F=x n (G est
le groupe identité) : si J est
l'idéal Hil(H) des
H-invariants et si I celui Hil(L) des L-invariants alors
Hil(H) = Hil(L) + < P >.
L'idéal Hil(H) n'est pas nécessairement triangulaire car les racines de F ne
sont pas distinctes deux-à-deux.
L'algorithme GaloisIdéal consiste donc à construire inductivement une chaîne
croissante d'idéaux de Galois de F :
I 1 < I 2 < ...< I < J < ...< M.
Les matrices de groupes sont utilisées pour le test d'arrêt (i.e. l'idéal
maximal M est calculé) et orienter les
calculs. Les résolvantes relatives sont utilisées avec les matrices de
groupes mais aussi pour calculer l'idéal suivant.
Au pire des cas, l'idéal I 1 est l'idéal des relations
symétriques engendré par les modules de Cauchy ; c'est-à-dire, d'après l'article
"Résolvante de Lagrange", l'intersection
de tous les idéaux maximaux.
La résolvante
La définition telle qu'elle est énoncée dans ce cours est
plus générale que la définition combinatoire classique :
Soit I l'idéal de Galois comme ci-dessus et R=K[x_1,...,x_n]/I,
l'anneau quotienté par I. Le H-invariant P est un polynôme de n variables qui induit un endomorphisme
(noté P, également) multiplicatif de R en associant la classe du produit P.Q à
chaque
classe Q de R.
Le polynôme caractéristique de l'endomorphisme P (de degré
le cardinal de l'injecteur L de I) est la
résolvante
L-relative par P
à
la puissance l'ordre du groupe H.
Si la résolvante est sans
facteur multiple (i.e. si l'invariant P est non dégénéré) et si le corps K est
parfait alors elle s'identifie au polynôme minimal de l'endomorphisme
P.
Une telle résolvante est appelée une H-résolvante L-relative .
Note. Les racines d'une résolvante sont donc les valeurs propres de
l'endomorphisme. Soit e l'"indice" de H dans L (L est l'union disjointe e de
classes à
droite de H). C'est le degré de la résolvante.
Il existe au plus e valeurs
propres distinctes, les racines de la résolvante, et s'il en existe e
distinctes la
résolvante et le polynôme minimal sont identiques.
L'algorithme de calcul des résolvantes relatives avec les idéaux de
Galois ( Philippe
Aubry et Valibouze, 1998 ) généralise
l'algorithme des absolues avec l'idéal des relations
symétriques ( Nicolas
Rennert et Valibouze, 1998 ).
Ces travaux ont débuté grâce à Antonio Machi qui, entre autre, m'a fait découvrir le livre
de Tchebotarev et à J.-M. Arnaudiès avec qui j'ai travaillé sur l'idéal
des relations symétriques et celui des relations.
- 1994
-
Théorie de Galois Constructive
Mémoire
d'habilitation à diriger les recherches (HDR), Université P. et M. Curie (Paris VI)
Je me suis posée les deux questions suivantes :
- Comment déterminer
le groupe de Galois de tout polynôme ?
- Comment rendre effectif le théorème de Galois ?
C'est-à-dire : comment calculer la valeur dans le corps de base du polynôme
d'une expression algébrique en ses racines invariante par son groupe de
Galois ? C'est la généralisation du théorème fondamental des fonctions
symétriques.
Pour répondre à 1., le seul algorithme fonctionnant pour tout polynôme était celui de
R.P. Stauduhar faisant appel aux approximations numériques des racines.
Avec Jean-Marie
Arnaudiès, nous avons répondu algébriquement à 1. avec les matrices de
Partitions
que j'ai étendues aux matrices de
groupes
diminuant nettement la
complexité du calcul en espace et en temps. Depuis Berwick, en passant par
Foulkes et
jusqu'à Mc-Kay,
Soicher, Regener et Butler, des sous-matrices des matrices de
partitions avaient été calculées jusqu'au degré 11 permettant de
répondre algébriquement à la question 1. jusqu'au degré 7 et uniquement
pour des polynômes irréductibles.
Pour répondre à 2. pour un polynôme F, il faut calculer
- ou bien le polynôme
minimal d'un élément
primitif du corps des
racines de F ; ce point de vue est en pratique rapidement inutilisable car le
degré du polynôme minimal est identique à l'ordre du groupe de Galois (i.e. n!
si
c'est
S n , avec n=deg(F)).
- ou bien calculer un idéal maximal triangulaire (voir Tchebotarev) dont le
produit des degrés initiaux est identique à l'ordre du groupe de Galois (et,
qu'avec P. Aubry, dans [11], nous avons déterminés indépendamment des valeurs
des
coefficients de F).
Avec J.-M. Arnaudiès, nous avons donné une formule calculant l'idéal maximal
mais avec la
contrainte du calcul d'un
élement primitif du corps des racines de F (voir "Résolvantes de Lagrange"
,LITP-Report 93.61 avec J.-M. Arnaudiès,
version téléchargeable dans Notes
Informelles de Calcul Formel). Ce problème fut résolu par la suite avec
les idéaux de Galois (voir ici ).
Les matrices de groupes et de partitions
Soient G,H,L trois sous-groupes du groupe symétrique de degré n tels
que G < L et H < L. L'action de G à gauche sur les G-orbites des
classes à gauche de L modulo H induit un liste de groupes qui ne
dépend que des classes
de conjugaison respectives de G et de H dans L.
Le groupe G est le
groupe candidat et le groupe H est le groupe test .
Si une H-résolvante L-relative d'un
polynôme de groupe de Galois G sur K n'est pas dégénérée (il en existe
toujours une) alors cette liste
de groupes est celle des groupes de Galois de ses facteurs irréductibles
sur K ( Valibouze, 1994).
Soient C1 ,...,Cp sont les classes de conjugaison de
sous-groupes de L.
La matrice des groupes relative à L est la matrice pxp dont
l'élément de la ligne i, colonne j est la liste de groupes construite
comme ci-dessus
avec un représentant de Ci comme groupe candidat et un
représentant de
Cj
comme groupe test.
La matrice des partitions est obtenue en remplaçant, dans la matrice des groupes, les groupes par leur
degré respectif (i.e. le cardinal de l'orbite). Les lignes de la
matrice des partitions sont distinctes 2 à 2.
Il est
donc toujours possible de déterminer le groupe de Galois de tout
polynôme en utilisant les résolvantes (
Arnaudiès-Valibouze, 1993 ),
les matrices de groupes permettant d'élaborer l'algorithme le plus
efficace pour y parvenir.
Les matrices de groupes et de partitions servent aussi à :
-
Répondre partiellement au problème inverse de Galois (
Gil-Delessalle et Valibouze, 1996, pour des polynômes
de degré 12 et Valibouze,
1994)
Soit G un groupe de permutations de degré n. Existe-t-il un polynôme de degré n
dont il soit le groupe de Galois ? Et, dans ce cas, calculer le
polynôme.
- Orienter la factorisation de polynômes (sur K ou sur ses
extensions) par la pré-détermination des degrés des facteurs possibles
(Thèse de Frédérique Lehobey)
-
Tester les systèmes de Calcul Formel. Elles ont permis de déceler deux "BUG's":
- un dans la factorisation de
MAXIMA (corrigé par William Schelter) : la H-résolvante d'un polynôme de groupe de
Galois G se factorisait dans des degrés ne correspondant pas à ceux
attendus selon la partition avec G comme groupe candidat et H comme
groupe test.
- un dans le calcul du groupe de Galois dans les extensions de
Magma : un facteur de F dans son corps de rupture (F est sa propre
résolvante par le groupe S1xS n-1 ) avait
D4 comme groupe de Galois et le groupe de Galois calculé par Magma
était différent.
Autres Résultats
-
Avec Daniel Lazard nous avons établi un algorithme calculant les sous-corps
d'un corps de rupture (i.e. les corps entre K et K(a) où a est une
racine du polynôme).
- Nouvelles formules calculant des résolvantes et implantées dans SYM.
Ce travail d'habilitation a débuté grâce à Pierre Cartier qui, en 1985,
m'expliqua comment
prouver que
le groupe de Galois du polynôme x7-7x+3 est le groupe transitif de
degré 7 et d'ordre 168. Il s'agissait de calculer une résolvante de Lagrange
absolue (celle du polynôme par l'invariant
x1+x2+x3) par les changements de
bases de
fonctions symétriques.
Avec mon module SYM, vous pouvez calculer
rapidement cette
résolvante de degré 30. Elle est donnée en exemple
ici
dans sa docenligne.
- 1987
-
Manipulations de fonctions symétriques
Thèse de l'Université P. et M. Curie (Paris VI).
Sous la direction de Daniel
Lazard.
Rapport LITP 87-75.
Ce travail a débuté sur cette question de D. Lazard :
Comment rendre effectif
le théorème fondamental des fonctions symétriques ?
Ce sujet de thèse est à l'origine de la plupart de mes
travaux.
-
Après avoir trouvé une solution contournant la complexité exponentielle du
groupe symétrique, j'ai poursuivi sur
d'autres problèmes en bénéficiant des conseils éclairés
d'Alain Lascoux
(DR-CNRS au LITP), spécialiste de la combinatoire du groupe symétrique.
Ce travail constitue toute la partie "Fonctions Symétriques" du module
SYM .
-
Suite à mon entretien avec Pierre Cartier (voir plus haut), j'ai
établi
des algorithmes et formules calculant efficacement des résolvantes de Lagrange
absolues que j'ai implantées dans SYM (voir aussi [3] et [4]).
-
Avec M. Giusti et
D. Lazard, nous avons montré l'équivalence algorithmique de :
(1) Calcul du résultant (2) Calcul de la résolvante absolue (3) Effectivité du
théorème fondamental des fonctions symétriques.
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